Kalkul , odbor matematiky zaoberajúci sa výpočtom okamžitých rýchlostí zmien ( diferenciálny počet ) a súčet nekonečne veľa malých faktorov na určenie nejakého celku ( integrálny počet ). Dvaja matematici, Isaac Newton z Anglicka a Gottfried Wilhelm Leibniz z Nemecka, si pripisujú zásluhy za samostatný vývoj kalkulu v 17. storočí. Kalkul je teraz základným vstupným bodom pre každého, kto chce študovať fyzika , chémia, biológia, ekonómia, financie alebo poistná matematika. Kalkul umožňuje riešiť problémy ako rôznorodý ako sledovanie polohy a vesmírna loď alebo predpovedanie tlak hromadením sa za priehradou, keď voda stúpa. Počítače sa stali cenným nástrojom na riešenie problémov s počtom, ktoré sa kedysi považovali za nemožné.
Korene kalkulu spočívajú v niektorých z najstarších geometria zaznamenané problémy. Egyptský papyrus Rhind ( c. 1650bce) dáva pravidlá pre vyhľadanie oblasti kruhu a objemu zrezanej pyramídy. Starogrécki geometri skúmali hľadanie dotyčníc kriviek ťažisko rovinných a pevných telies a objemy objektov vytvorených otáčaním rôznych kriviek okolo pevnej osi.
Do roku 1635 taliansky matematik Bonaventura Cavalieri doplnil prísne nástroje gréckej geometrie o heuristický metódy, ktoré využívali myšlienku nekonečne malých segmentov čiar, plôch a objemov. V roku 1637 francúzsky matematik-filozof René Descartes zverejnil svoj vynález analytickej geometrie pre poskytovanie algebraických opisov geometrických útvarov. Descartova metóda v kombinácii so starodávnou myšlienkou kriviek generovaných pohyblivým bodom umožnila matematikom ako Newton opísať pohyb algebraicky. Geometrii zrazu mohli ísť nad rámec jednotlivých prípadov a ad hoc metód minulých čias. Mohli vidieť vzory výsledkov, a tak domýšľať nové výsledky, ktoré starší geometrický jazyk zakryl.
Napríklad grécky geometer Archimedes (287–212 / 211bce) ako izolovaný výsledok sa zistilo, že plocha segmentu paraboly sa rovná určitému trojuholníku. Ale s algebraickou notáciou, v ktorej je parabola napísaná ako Y. = X dva, Cavalieri a ďalší geometri čoskoro zistili, že oblasť medzi touto krivkou a X - os od 0 do do je do 3/ 3 a že podobné pravidlo platí aj pre krivku Y. = X 3— Jmenovite, že zodpovedajúca oblasť je do 4/ 4. Odtiaľ nebolo pre nich ťažké uhádnuť všeobecný vzorec pre oblasť pod krivkou Y. = X n je do n +1/ ( n +1).
Problém hľadania dotyčníc ku krivkám úzko súvisel s dôležitým problémom, ktorý vzišiel z vyšetrovania pohybu talianskeho vedca Galilea Galileiho, spočívajúci v hľadaní rýchlosti častice pohybujúcej sa podľa nejakého zákona v ktoromkoľvek okamihu. Galileo to ustanovil v roku 2006 t sekundy voľne padajúce telo spadne na diaľku g t dva/ 2, kde g je konštanta (neskôr ju Newton interpretuje ako gravitačnú konštantu). S definíciou priemernej rýchlosti ako vzdialenosti za čas je priemerná rýchlosť tela v intervale od t do t + h je dané výrazom [ g ( t + h )dva/ 2 - g t dva/dva]/ h . Toto sa zjednodušuje na g t + g h / 2 a nazýva sa rozdielový kvocient z funkcia g t dva/ 2. Ako h blíži sa k 0, tento vzorec sa blíži g t , čo sa interpretuje ako okamžitá rýchlosť padajúceho telesa v čase t .
Ako funguje ATP bunková práca
Tento výraz pre pohyb je identický s výrazom získaným pre sklon dotyčnica k parabole f ( t ) = Y. = g t dva/ 2 v bode t . V tomto geometrickom kontext , Výraz g t + g h / 2 (alebo jeho ekvivalent [ f ( t + h ) - f ( t )] / h ) označuje sklon sečnovej čiary spájajúcej bod ( t , f ( t )) do blízkeho bodu ( t + h , f ( t + h )) ( viď obrázok). V limit , s menšími a menšími intervalmi h , sačná čiara sa blíži k dotyčnici a jej sklonu v bode t .
Ilustrácia rozdielu medzi priemernou a okamžitou rýchlosťou zmenyGraf f ( t ) ukazuje sekanciu medzi ( t , f ( t )) a ( t + h , f ( t + h )) a dotyčnicu k f ( t ) o t . Ako časový interval h blíži sa k nule, sekans (priemerná rýchlosť) sa blíži k dotyčnici (skutočná alebo okamžitá, rýchlosť) pri ( t , f ( t )). Encyklopédia Britannica, Inc.
Rozdielny kvocient teda môžeme interpretovať ako okamžitú rýchlosť alebo ako sklon dotyčnice ku krivke. Bol to kalkul, ktorý vytvoril toto hlboké spojenie medzi geometriou a fyzikou - v procese transformácie fyziky a poskytovania nového podnet na štúdium geometrie.
víťazi volieb pokračujú proti sebe vo voľbách.
Newton a Leibniz nezávisle stanovili jednoduché pravidlá pre nájdenie vzorca pre sklon dotyčnice ku krivke v ktoromkoľvek bode na nej, pričom pre krivku dostali iba vzorec. Rýchlosť zmeny funkcie f (označené f ′) Je známy ako jeho derivát . Nájdenie vzorca derivačnej funkcie sa nazýva diferenciácia a pravidlá, ktoré to umožňujú, tvoria základ diferenciálneho počtu. V závislosti od kontextu môžu byť deriváty interpretované ako svahy dotyčníc, rýchlosti pohybujúcich sa častíc alebo iné veličiny, a v tom spočíva veľká sila diferenciálneho počtu.
Dôležitou aplikáciou diferenciálneho počtu je vytváranie grafov krivky vzhľadom na jej rovnicu Y. = f ( X ). Jedná sa najmä o nájdenie lokálnych maximálnych a minimálnych bodov v grafe, ako aj o zmeny skloňovania (konvexné až konkávne alebo naopak). Pri skúmaní funkcie použitej v matematickom modeli majú takéto geometrické predstavy fyzikálne interpretácie, ktoré umožňujú vedcovi alebo inžinierovi rýchlo získať cit pre správanie fyzikálneho systému.
Ďalším veľkým objavom Newtona a Leibniza bolo, že hľadanie derivácií funkcií bolo v presnom zmysle inverznou metódou problému hľadania oblastí pod krivkami - princípu, ktorý je dnes známy ako základná veta kalkulu . Newton konkrétne zistil, že ak existuje funkcia F ( t ), ktorá označuje oblasť pod krivkou Y. = f ( X ) od, povedzme od 0 do t , potom sa derivácia tejto funkcie bude rovnať pôvodnej krivke v tomto intervale, F ′ ( t ) = f ( t ). Preto nájsť oblasť pod krivkou Y. = X dvaod 0 do t , stačí nájsť funkciu F tak že F ′ ( t ) = t dva. Diferenciálny počet ukazuje, že najobecnejšia je takáto funkcia X 3/ 3 + C. , kde C. je ľubovoľná konštanta. Toto sa nazýva (neurčitý) integrál funkcie Y. = X dva, a píše sa ako ∫ X dva d X . Počiatočný symbol ∫ je predĺžený S, čo znamená súčet, a d X označuje nekonečne malý prírastok premennej alebo osi, cez ktorú sa funkcia sumarizuje. Leibniz to zaviedol, pretože myslel na integrácia ako nájdenie oblasti pod krivkou súčtom oblastí nekonečne veľa nekonečne tenkých obdĺžnikov medzi X -osa a krivka. Newton a Leibniz to zistili integrácia f ( X ) je ekvivalentné riešeniu diferenciálnej rovnice - teda hľadanie funkcie F ( t ) tak, že F ′ ( t ) = f ( t ). Fyzicky môžeme riešenie tejto rovnice interpretovať ako zistenie vzdialenosti F ( t ) cestovaný objektom, ktorého rýchlosť má daný výraz f ( t ).
Vetva kalkulu zaoberajúca sa výpočtom integrály je integrálne kalkul a medzi jeho mnohými aplikáciami je nájdenie práce vykonanej fyzikálnymi systémami a výpočet tlaku za hrádzou v danej hĺbke.
Copyright © Všetky Práva Vyhradené | asayamind.com